Rätsel

Wer hat Tomatensoße im Gesicht?

In der Vorschulgruppe im MiniCampus der FernUniversität spielen 20 sehr schlaue Kinder. Einige von ihnen haben beim Mittagessen etwas gekleckert und nun kleben ihnen Reste von Tomatensauce im Gesicht. Jedes Kind kann die Gesichter aller anderen Kinder sehen, aber nicht das eigene. Für Kinder sind Tomatensoße im Gesicht natürlich kein Gesprächsthema und einen Spiegel gibt es im Essraum auch nicht. Daher weiß ein Kind selbst nicht, ob es ein schmutziges Gesicht hat oder noch sauber geblieben ist. Nach dem Essen sagt der Erzieher: "Oha! Ich sehe mindestens 10 schmutzige Gesichter. So können wir aber nicht gleich zum Spielen gehen!" Er stimmt das Lied zum Gesicht waschen an. Jede Strophe endet mit der Aufforderung: "Wer weiß, dass er eine schmutz'ge Nase hat, wäscht sich nun flott den Dreck mit Wasser ab." Einige Strophen lang passiert gar nichts. Doch plötzlich springen alle Kinder mit Tomatensoße im Gesicht auf und gehen ins Bad. Nach wie vielen Strophen passiert das und wieso?

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Die Antwort hängt davon ab, wie viele schmutzige Gesichter es tatsächlich gibt. Durch den Erzieher haben alle Kinder erfahren, dass es mindestens 10 Kinder mit Tomatensoße im Gesicht gibt. Wenn es nun genau 10 Kinder mit schmutzigem Gesicht gibt, dann sehen diese jeweils nur neun weitere schmutzige Gesichter. Sie wissen also sofort, dass es genau zehn verschmierte Gesichter gibt und auch sie zu den 10 gehören. Somit gehen sie sich nach der ersten Strophe sich das Gesicht waschen. Wenn es mehr als 10 Kinder mit schmutzigen Gesichter gibt, dann sieht jedes Kind mindestens 10 andere schmutzige Gesichter und kann sich nicht sicher sein, dass es selbst dazu gehört. Also geht nach der ersten Strophe niemand sich das Gesicht waschen. Dass nichts passiert, liefert aber nun allen die Information, dass es mindestens 11 Kinder mit Tomatensoße geben muss und es ist, als hätte der Erzieher erzählt, dass er mindestens 11 verschmierte Gesichter sieht

Somit kann man dann Schritt für Schritt vorgehen:

• Gibt es genau 10 schmutzige Gesichter, so gehen sich die Kinder nach einer Strophe waschen.

• Gibt es genau 11 schmutzige Gesichter, so gehen sich die Kinder nach zwei Strophen waschen.

• Gibt es genau 12 schmutzige Gesichter, so gehen sich die Kinder nach drei Strophen waschen.

Und so weiter …

In Formeln ausgedrückt wäre somit die Antwort:

Ist die Anzahl der Kinder mit Tomatensoße im Gesicht gleich n, dann gehen diese nach der (n–9)-tencStrophe waschen. Diese Methode, etwas Schritt für Schritt zu beweisen, auch wenn die tatsächliche Anzahl an Schritten unbekannt ist, nennt man in der Mathematik auch "Beweis durch Induktion".

Fuzz der Faulkäfer

 In einem Insektenhotel leben 100 Tiere. Jeden Morgen verlassen die Insekten ihre Löcher und machen sich in den Tag auf. Nach und nach kommen sie nach getaner Arbeit schließlich am Nachmittag zurück ins Hotel. Dabei möchte jedes Insekt, wenn möglich im gleichen Loch wie vorherige Nacht übernachten, da es sich dort besonders wohl fühlt. Leider gibt es heute (wie so oft) Verwirrung durch Fuzz den Faulkäfer. Er ist stets als Erster zurück im Hotel und bekannt für seine schreckliche Vergesslichkeit. Auch heute hat er schon wieder vergessen, in welchem Loch er zuvor war. Entsprechend wählt Fuzz einfach zufällig ein Loch und macht es sich gemütlich. Glücklicherweise sind die anderen Insekten sehr entspannt: Sollte das eigentlich gewünschte Vortages-Loch bei Rückkehr nicht verfügbar sein, so wählen sie ebenfalls einfach zufällig ein anderes Loch (falls verfügbar, gehen sie jedoch immer in ihr Loch vom Vortag). Berta, die fleißige Wildbiene, arbeitet täglich hart und kommt stets als Letzte zurück zum Hotel. Gerade heute wäre sie glücklich, wenn sie in ihrem alten Loch entspannen könnte. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Berta in ihr Loch gehen kann

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Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit, dass Berta am Ende in ihrem Loch schlafen kann, liegt genau bei 50 Prozent. Zum Zeitpunkt von Bertas Rückkehr ist noch genau ein Loch übrig, da alle anderen Insekten bereits zurückgekehrt sind. Dabei kann nur noch ihr eigenes Loch oder das Loch von Fuzz verfügbar sein. Denn wäre noch ein anderes Loch übrig, so wäre das Insekt mit dem entsprechenden Vortages-Loch zwar ins Hotel zurückgekehrt, hätte aber entgegen der Aufgabenstellung dieses nicht bezogen. Alle Insekten, die zur Wahl eines Lochs gezwungen sind, wählen nach Voraussetzung zufällig, sodass insbesondere mit gleicher Wahrscheinlichkeit Bertas Loch oder Fuzz' Loch bezogen wird. Somit ist auch zum Zeitpunkt von Bertas Rückkehr mit gleicher Wahrscheinlichkeit Bertas Loch oder Fuzz'Loch noch verfügbar.

Skatrunde

12 Studierende haben ein sogenanntes "Höllenseminar" bei Herrn Teufel belegt. Zu Beginn erfahren sie ihre Aufgabe und dürfen sich beraten und eine Strategie und Reihenfolge ihres Auftretens festlegen. Sie werden nacheinander in der festgelegten Reihenfolge einzeln abgeholt und in einen Raum gebracht, wo sie ein vollständiges Skatblatt (32 Karten) vorfinden, in welchem die Karten zufällig auf- und zugedeckt sind. Jedem Studierenden wird für die Dauer des Höllenseminars eine dieser Karten vom Skatblatt zufällig zugewiesen, die beim Betreten des Raumes auf einem Bildschirm angezeigt wird. Alle zugewiesenen Karten sind verschieden. Die Studierenden dürfen das Deck des Skatblatts durchsehen (und alle Karten von beiden Seiten ansehen) und müssen dann entweder genau eine Karte oder das gesamte Kartendeck umdrehen. Nach dem Verlassen des Raumes hebt Herr Teufel den Stapel noch einmal ab, sodass eine zufällige Anzahl der zuvor unten liegenden Karten nun in gleicher Reihenfolge oben liegt. Waren alle Prüflinge im Raum, beginnt dieser Zyklus erneut. Die Aufgabe jedes Studierenden ist es, möglichst schnell herauszufinden, welche Karte welchem Studierenden zugewiesen wurde. Die Mitteilungen aneinander können lediglich durch das Verändern des Kartendecks erfolgen. Jede andere Form der Kommunikation ist strengstens untersagt. 

Finde eine Strategie mit möglichst wenigen Runden!

Lösung

Es gibt viele gute Strategien. Die beste uns bekannte Lösung benötigt 5 Runden. Hier ist zunächst eine Strategie in 6 Runden, die darauf basiert, dass jeder Studierende seine Position anhand seiner zugewiesenen Karte übermittelt: Die Reihenfolge der Karten ist nicht von Bedeutung, sondern nur deren Status "offen" oder "verdeckt". Daher ist auch das Abheben irrelevant.